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整数論 (基礎数学)
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| 商品カテゴリ: | 物理学,化学,数学,地学,科学,学習,知識
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| セールスランク: | 168377 位
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ゼータ関数の現代理論への入門書
森田先生の本書は、デデキンド環、付値論、アデール/イデールなど代数的整数論の基礎理論を解説しており、付値論（p進体＝局所体）の立場から代数体の基礎を確立することを目指した久保田富雄先生の意欲的な著書「整数論入門」（朝倉書店、1971）と極めて類似した内容を持っている。
本書の特徴は、局所体と大域体の基礎理論につき、代数体と（一変数）代数関数体とを対等に扱っている点にある。勿論、「整数論」の本であるから、重点は代数体のほうに置かれており、代数関数体は代数体の結果との対比の意味で扱われている、と考えるべきである。
本書のハイライトは、ゼータ関数の現代理論を述べた第10章にある。特に、大域体のゼータ関数をイデール上の積分として定義する岩澤・テイトの方法の核心である10.4節「大域ゼータ関数」の解説（特に、類数公式と関数等式につき言及している定理10.7、及び定理10.8）は、まことにスバラシイものである。岩澤・テイトの方法は、代数体の類数公式及びHeckeのL関数に関連して「数論2」（岩波、現代数学の基礎、1998）の§7.5でも解説されているが、本書の10章で更に詳しく理解することができると思う。
また、この10章の演習問題には、（問題10.8）モジュラー群の重さｋの尖点形式から関数等式を満たすディリクレ級数が作れる事（実は逆も真である）、及び（問題10.10）久保田・Leopoldtのp進L関数が存在する事、につき言及されており、今後の展開をチラッと垣間見ることが出来て好感が持てる。この両者については、「数論3」（岩波、現代数学の基礎、1998）§9.3 定理9.8（Heckeの逆定理）と§9.6 定理9.21、及び10章 [岩澤理論] §10.1 定理10.6、10.14に詳しい説明が与えられているので、更に興味がある読者には大いに参考になると思う。
東京大学出版会
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